分享：极射投影法与极图的演变过程及其应用

晶体学涉及晶体本身的性质（如对称性和各向异性）及晶体在外部条件变化时的结构变化（如温度、压力、磁场、电场等）。描述晶体本身及其变化的最常用的工具之一就是极射赤面投影法或极射投影图。《材料科学基础》课程是材料专业最基本的理论课程，涉及的材料主要是晶体。如果问刚学过《材料科学基础》课程的学生，哪些概念相对难？苦涩难懂？肯定会有不少同学说，极射投影图难懂，有效使用更难。如果问及这个工具用于哪些场合？同学们基本能答出用于确定不同晶体学方向夹角的测定，用于多晶织构的表达。至于熟练应用，就很难达到，或令人望而生畏了。针对此现象，作者曾编辑出版了《材料科学名人典故与经典文献》[1]一书，收集整理了极射投影图方法的演变历史及在不同领域的应用，并在课程教学中予以展示。由于作者长期从事的材料学研究中频繁用到极射投影图和极图，因此充分体会到其直观性和便利性；此外，随着科技的不断进步，特别是计算机及软件开发和测试技术的进步，晶体学这个既传统又成熟但其应用还远不普及的学科，越来越频繁地被应用，极射投影图也越来越广泛地得以使用。在此结合作者所收集的资料和自己的科研工作讨论极射投影法和极图的“神奇”、有趣和广泛应用，希望引起读者的兴趣，并在研究工作中注重其应用。

1.   极射赤面投影的基本概念

图1给出极射赤面投影原理图。极射赤面投影方法是由单位球的中心出发的任一晶向，与球面相交（球面投影概念）于A点，该交点A向单位球的南极（下半球）投影，投影线AS与赤道面的交点′A′就是该晶向三维方向的二维坐标或表达。类似地可做出三维晶体方向B（实际是原点到B的方向）在二维赤道面的投影位置′B′。A，B方向在空间的夹角就等于′A′和′B′在平面投影图中的夹角，该投影过程是保角的，这个角度要用吴氏网（Wullf net）来度量，见图1(c)。具体方法是，将′A′ 、′B′投影点转到吴氏网的经线上，量出它们之间的纬度角值。由极射赤面投影制作过程及使用的吴氏网可知，极射赤面投影图与地球仪、地理、航海有密切联系，甚至可以说是由其演变而来。吴氏网上的经线是不同倾斜角度并过球心的大圆的极射投影，而吴氏网上的纬线是垂直于赤道面的一系列小圆的极射投影线。

在晶体学中，为了一目了然地看出晶体中所有重要晶面的相对取向及对称关系，通常使用的方法是制作极射赤面标准投影图。一般选择某个低指数晶面（例如(100)、(110)、(111)等）作为投影面（即赤道面），将其他重要的晶面的极点投影到这个面上（图2（c））。图2是立方系(001)标准投影图的制作过程及其标准投影图。能看出绕中心<001>轴的4次对称性及镜面对称关系。图2（d）是作者2005年在比利时鲁汶参加国际材料织构会议参观鲁汶大学材料学院时见到的极射投影法教具，是图2（b）的实物化。如果要求出极射图（图2（c））中某一位置点对应哪个(hkl)晶向指数是多少？只需量出其与3个<100>轴的交角，求出3个角度余弦之比并互质化即可[2]。反之，如果要确定一个（hkl）极点或晶向在标准投影图中的位置，只需求出其与三个{100}晶轴的夹角，在极射投影图中画出对应角度的大圆及两个纬线，其惟一的交点就是（hkl）极点位置。

在学习极射投影法时，应注意区分极射投影图与极图的差异。极图是在讲述形变织构、再结晶织构知识点时使用的术语。不了解织构的人可能认为极图就是极射投影图的缩写，其实极图除含极射投影的含义外，还包含样品坐标系的信息，即标出晶体坐标系相对于样品坐标系的旋转关系（这就是晶体取向的定义），{100}极图指画出所有不同取向晶粒的{100}投影点、又表达出样品坐标系与晶体坐标系旋转关系的极射投影图（见后文的举例）。很多情况下，使用者不关心样品坐标系，只关心晶体坐标系，因此就用常见的极射投影图。而一旦涉及样品坐标系的取向或方位，就要用极图。

不同领域的研究者还应注意极射投影法与等面积投影法的差异[3]。矿物学、晶体学中主要分析各种晶体学方向或晶面间的关系，要在二维图上保持三维空间的角度关系，所以习惯使用等角度投影的吴氏网（Wullf net）来度量；而地质学、地理学、测绘学中常需要描述地球上不同区域或国家大小比例间的关系，所以习惯用等面积投影的方式作图或度量，这就要用到等面积投影的Lambert网或Schmidt网[4]。图3给出(a)等角度投影吴氏网（Wullf网）与(b)等面积投影Schmidt网的差异。绘制两种网的数学公式的差异见文献[3]。

2.   极射赤面投影法应用历史

2.1   极射投影图的历史演变

由构造极射赤面投影图时提到的南极、北极、赤道，就不难想象，这种方法是从地理学演变过来的。然而在天体学中极射投影法的应用比地理学还早。早在公元前125年，古代最伟大的天文观察家、三角几何学的开创者Hipparchos（希帕克斯）最先引入极射投影法[3]，大致出现在古埃及时代，最初称为平面球形投射。托勒密(Ptolemy)的“星图”（Planisphaerium）是现存文献中最早描述极射投影的著作(参见http://www.princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/docs/Stereographic_projection.html，感兴趣的读者可以查阅)。该著作最初是用古希腊语书写的，并且是阿拉伯译文中保存下来的科学著作之一。12世纪，这部著作由阿拉伯语译成拉丁语。它的最重要的用途之一是描述天体。平面球形图这个术语仍然被用于这类图形。人们认为最早的世界地图是在1507年由Gualterious Lud创造的，它所依据的就是球的极射投影，即把每个半球映射为一个圆盘。在17世纪和18世纪，极射投影图的赤道常用于表示地图的东半球和西半球。图4(a)为1500年代比利时画家鲁宾斯（Rubens）的一幅画，画出了天体球及其在地面上的影子，恰好是一个三维球和其二维投影图。图4(b)为天文学家al-Zarquala于1070年用的万用天体观测仪（星盘）[3]。左侧为极射投影网，右侧为固定格式化的星体指针。上部是天体的北极，投影面是过天体极和夏至、冬至位置的大圆。该大圆被昼夜平分的天体赤道面等分。图4(c)为中国古代天体测量学及天文仪器(参见https://baike.so.com/doc/8267375-8584364.html)。

作者曾有集邮的爱好，留学德国期间也收集了一些德国的邮票，恰好有一套1500—1700年收藏家所拥有的天体仪与地球仪藏品的邮票，见图5。天体仪可以用于确定宇宙中各星球的相对位置，也可用于确定24个节气和每天24小时的时间点。